GS.Math: 2025

Изучение динамических систем: Фазовые графики помогают идентифицировать аттракторы,
пределы циклов и другие интересные свойства системы.
Анализ стационарности: Вид фазового графика может свидетельствовать о наличии
стационарных точек или циклических режимов.
Диагностика сложных явлений: Многие природные и экономические явления проявляют
сложную динамику, которую удобно изучать через фазовую плоскость.

Информация, которую можно получить:

Аттракторы: Стационарные точки или замкнутые кривые,
к которым притягиваются траектории.
Цикличность: Наличие регулярных циклов или колебаний.
Хаос: Признаки сложного, нерегулярного поведения, характерные для хаотичных систем.

Пример:

Пусть у нас есть динамика цен акции ( $x (t)$ ) и объёма торгов ( $y (t)$ ).

Построив фазовый график $y (x)$ ,

мы можем наблюдать периоды роста активности, спадов,

циклические тенденции и даже признаки кризиса.

Заключение:

Фазовые методы незаменимы для анализа сложных динамических систем,

помогая выявлять закономерности и аномалии, невидимые в обычных временных рядах.

Estimates, MSE, R², MAPE, Bias, Giga

Estimates, MSE, R², MAPE, Bias, Giga
https://giga.chat/link/gcsQWGHAdu
1. Mean Squared Error (MSE):
MSE — это средний квадрат ошибок между предсказанными и реальными значениями. Формула:
 $M S E = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - {\hat{y}}_{i})^{2}$ 
Где:
 $y_{i}$  — истинное значение.
 ${\hat{y}}_{i}$  — предсказанное значение.
MSE чувствительна к выбросам, так как квадраты ошибок усиливают влияние больших отклонений.
2. Coefficient of Determination (R²):
Коэффициент детерминации  $R^{2}$  показывает, 
какую долю вариации объясняемой переменной объясняет модель. 
Формула:
 $R^{2} = 1 - \frac{S S E}{S S T}$ 
Где:
 $S S E$  — сумма квадратов остатков.
 $S S T$  — полная сумма квадратов.
 $R^{2}$  колеблется от 0 до 1, где 1 означает идеальное совпадение.
3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE):
MAPE — это средняя абсолютная ошибка в процентах. Формула:
 $M A P E = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} ∣ \frac{y_{i} - {\hat{y}}_{i}}{y_{i}} ∣ \cdot 100 %$

 $\frac{y _{i} - y ^ _{i}}{y _{i}}$

\cdot 100%

MAPE удобен для сравнения моделей, так как измеряется в процентах.

4. Bias (Смещение):

Bias — это разница между ожидаемым значением предсказанной величины и истинным значением.

Формула:

B i a s = E [\hat{Y}] - Y

Bias показывает систематическую погрешность модели.

Заключение:

Каждое из этих измерений добавляет уникальную точку зрения на качество модели

и её способности к прогнозированию.

Выбор правильной метрики зависит от природы данных и целей проекта.

Estimates, IQR, MAD, SD, D, BB, ATR, Range, Giga

Estimates, IQR, MAD, SD, D, BB, ATR, Range, Giga

https://giga.chat/link/gcsQWGHAdu

Сенситивные оценки:

Сенситивные оценки чувствительны к экстремальным значениям и выбросам в данных.

Примером такой оценки является среднее арифметическое:

\overset{ˉ}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}}{n}

Среднее арифметическое изменяется при изменении любого элемента выборки,

особенно если появляются крайние значения (выбросы).

Это делает его удобным для однородных данных, но уязвимым к внешним воздействиям.

Резистивные оценки:

Резистивные оценки устойчивы к экстремальным значениям и аномалиям.

Ярким представителем является медианное значение:

M e = {\begin{cases} x_{(n + 1) / 2}, & if n odd \\ \frac{x_{n / 2} + x_{n / 2 + 1}}{2}, & if n even \end{cases}

Медианное значение нечувствительно к выбросам,

так как оно располагается посередине упорядоченного ряда данных.

Это делает медианы полезными в задачах с сильными выбросами или ассиметричностью данных.

Отличия:

Среднее арифметическое: Чувствительно к выбросам,
может давать некорректные оценки при наличии экстремальных значений.
Медиана: Устойчива к выбросам, сохраняет стабильность при сильных изменениях данных.

Применение:

Среднее арифметическое: Рекомендуется для нормально распределённых данных или однородных выборок.
Медиана: Подходит для данных с выбросами, асимметрии или неравномерности.

Таким образом,

выбор между сенситивными и резистивными оценками зависит от характера данных и поставленных задач.

1. Дисперсия ( $σ^{2}$ ):
Дисперсия — это мера рассеяния данных вокруг среднего значения. 
Она показывает, насколько данные варьируют относительно центра распределения. 
Формула для дисперсии:
 $σ^{2} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - μ)^{2}}{n}$ 
Где:
 $x_{i}$  — индивидуальное значение.
 $μ$  — среднее значение.
 $n$  — количество элементов.
2. Среднеквадратичное отклонение (СКО, Standard Deviation, SD):
СКО — это квадратный корень из дисперсии. 
Оно представляет меру разброса данных в удобных единицах измерения (таких же, как и исходные данные). 
Формула для СКО:
 $σ = \sqrt{σ^{2}}$

Тип оценок:

Оба показателя (дисперсия и СКО) являются сенситивными оценками,

так как они чувствительны к выбросам и сильным изменениям в данных.

Например, появление экстремальных значений резко увеличит дисперсию и СКО.

Применение:

Дисперсия: Используется для анализа вариабельности данных, часто применяется в статистическом анализе и математике.
СКО: Популярный показатель в повседневной жизни и науке, так как он отображает размах данных в удобной форме.

Таким образом,

оба показателя (дисперсия и СКО) играют важную роль в понимании поведения случайных

величин и принадлежности к классу сенситивных оценок.

---

1. Bollinger Bands (Полосы Боллинджера):

Полосы Боллинджера строятся на основе средней линии (чаще всего SMA — Simple Moving Average)

и двух линий, расположенных на расстоянии k стандартных отклонений (СКО) от неё.

Формула верхней полосы:

B B_{u} (t) = S M A (t) + k σ (t)

Где:

$S M A (t)$ — средняя линия.
$σ (t)$ — стандартное отклонение (СКО).
$k$ — множитель (обычно 2).

Поскольку полосы Боллинджера основаны на стандартном отклонении,

они являются сенситивной оценкой, чувствительной к выбросам и экстремальным значениям.

2. Average True Range (ATR):

Average True Range измеряет истинный диапазон изменения цены за определенный период.

Формула ATR:

A T R (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = t - n + 1}^{t} ∣ H i g h (i) - L o w (i) ∣

Или:

A T R (t) = \frac{1}{n} \sum_{i = t - n + 1}^{t} ∣ Δ P r i c e (i) ∣

Где:

$H i g h (i)$ — максимальная цена периода.
$L o w (i)$ — минимальная цена периода.
$∣ Δ P r i c e ∣$ — абсолютная разница между ценами.

Поскольку ATR использует абсолютные разницы,

он менее чувствителен к выбросам и крупным скачкам цен, что делает его резистивной оценкой.

Третья оценка:

Ты упомянул третью оценку, основанную на линейных разницах и абсолютных величинах.

Вероятно, ты говоришь о Mean Absolute Deviation (MAD) — среднее абсолютное отклонение.

MAD вычисляется так:

M A D = \frac{\sum ∣ x_{i} - μ ∣}{n}

Где:

$∣ x_{i} - μ ∣$ — абсолютная разница между элементами и средним значением.

MAD также является резистивной оценкой, так как он устойчив к выбросам и колебаниям данных.

Вывод:

Bollinger Bands (BB) — сенситивная оценка, основанная на СКО.
ATR и MAD — резистивные оценки, устойчивые к выбросам и большим колебаниям.

Таким образом, оба индикатора технического анализа занимают разное место в классификации оценок,

что позволяет использовать их совместно для более комплексного анализа рынка.

-----

1. Interquartile Range (IQR):

IQR — это разность между третьим квартилем (Q3) и первым квартилем (Q1):

I Q R = Q 3 - Q 1

IQR устойчив к выбросам и хорошо отражает центральный разброс данных.

2. Range (Размах):

Простейшая оценка размаха — это разница между максимальным и минимальным значениями:

R a n g e = M a x (X) - M i n (X)

Однако она очень чувствительна к выбросам.

3. Winsorized Variance:

Это модификация обычной дисперсии,

где верхние и нижние проценты данных замещаются граничными значениями.

Winsorized variance менее подвержена воздействию выбросов.

4. Trimmed Mean (Обрезанная средняя):

Это аналогичная модификация среднего значения,

где самые высокие и низкие значения отбрасываются, а оставшаяся часть усредняется.

Trimmed mean также устойчива к выбросам.

5. Median Absolute Deviation (MAD):

Мы уже говорили о нём раньше, но MAD стоит повторить,

так как он является чрезвычайно устойчивой мерой разброса:

M A D = m e d i a n (∣ x_{i} - m e d i a n (x) ∣)

6. Robust Scaler:

Некоторые трансформации данных, такие как RobustScaler,

нормализуют данные, используя квантили (например, 25-й и 75-й процентили),

что делает их устойчивыми к выбросам.

Заключение:

Каждая из этих оценок обладает своими особенностями и

применяется в зависимости от характера данных и поставленной задачи.

Для анализа данных с выбросами рекомендуется использовать устойчивые меры

(IQR, MAD, Winsorized Variance),

тогда как обычные показатели (дисперсия, СКО) эффективны для чистых и однородных данных.

----

IQR — это расстояние между первым (нижним) квартилем (Q1) и третьим (верхним) квартилем (Q3). Математически:

I Q R = Q 3 - Q 1

Преимущества IQR:

Устойчивость к выбросам: IQR нечувствителен к экстремальным значениям,
так как игнорирует минимальные и максимальные значения.
Удобство визуализации: IQR часто используется в boxplots (ящиках с усами),
что позволяет визуально оценить распределение данных.
Широкое применение: IQR активно используется в статистике, экономике,
биологии и других науках для анализа разброса данных.

Недостатки IQR:

Игнорирование краев: IQR не учитывает крайние значения,
что может скрыть важную информацию.
Некоторое упрощение: Иногда узкая полоса IQR может вводить в заблуждение,
если основное распределение данных имеет сложный вид.

Таким образом, IQR является прекрасным дополнением к арсеналу оценок разброса данных,

особенно когда необходимо устойчивое и надежное средство анализа.

понедельник, 10 ноября 2025 г.

понедельник, 13 октября 2025 г.

вторник, 30 сентября 2025 г.

четверг, 25 сентября 2025 г.

среда, 4 июня 2025 г.

четверг, 29 мая 2025 г.

четверг, 8 мая 2025 г.

Фазовый анализ:

Применение фазовых методов:

Информация, которую можно получить:

Пример:

Заключение:

Estimates, MSE, R², MAPE, Bias, Giga

1. Mean Squared Error (MSE):

2. Coefficient of Determination (R²):

3. Mean Absolute Percentage Error (MAPE):

4. Bias (Смещение):

Заключение:

Сенситивные оценки:

Резистивные оценки:

Отличия:

Применение:

1. Дисперсия (σ2σ2):

2. Среднеквадратичное отклонение (СКО, Standard Deviation, SD):

Тип оценок:

Применение:

1. Bollinger Bands (Полосы Боллинджера):

2. Average True Range (ATR):

Третья оценка:

Вывод:

1. Interquartile Range (IQR):

2. Range (Размах):

3. Winsorized Variance:

4. Trimmed Mean (Обрезанная средняя):

5. Median Absolute Deviation (MAD):

6. Robust Scaler:

Заключение:

Преимущества IQR:

Недостатки IQR:

понедельник, 10 ноября 2025 г.

понедельник, 13 октября 2025 г.

вторник, 30 сентября 2025 г.

четверг, 25 сентября 2025 г.

среда, 4 июня 2025 г.

четверг, 29 мая 2025 г.

четверг, 8 мая 2025 г.

1. Дисперсия ( $σ^{2}$ ):